3_علم الحركة_توصيف المكان والإتجاه Position and Orientation Representation

يمكن تعريف علم حركة الاجسام الجامدة الحيزيّة على انه دراسة الطرق المتعددة لكيفية تغير موضعها .يتم تحديد تغير مكان الجسم الصلب من خلال دراسة الإنتقال والدوران اللذان يطرآن عليه Translations and rotations .

لا يوجد طريقة تمثيل مثالية , ولكن يمكن الإستفادة من مزايا كل طريقة من أجل تحديد الطريقة الأنسب لحل المشاكل المختلفة.

الحد الأدنى لعددالإحداثيات المطلوبة لتحديد موقع الجسم في الفضاء الإقليدي هي ستة. انقر هنا للمزيد: Euclidean space
بشكل عام ، الجسم الصلب له ست درجات حرية في الفضاء ثلاثي الأبعاد : ثلاث درجات لحرية الانتقال، وثلاث درجات لحرية الدوران.


الطريقة التقليدية لوصف مكان وتوجه الجسم الصلب هي رسم إطار إحداثي خاص به. بعد تحديد إطار الاحداثيات المرجعية الاساسية, فإن تعيين مكان وتوجه الجسم الصلب يتم من خلال تحديد مكان وتوجه المحاور التي تمر من نقطة إلتقاء محاور إطار الجسم بالنسبة إلى إطار الاحداثيات المرجعية الاساسية.

إطار الاحداثيات وتسمى عادة الإطار frame تتكون من نقطة مرجعية Oi وثلاثة أشعة متعامدة فيما بينها ( ˆxi ˆyi ˆzi ) تمر من خلال هذه النقطة وتكون جميعها مثبتة على جسم معين. دوما يتم وصف موضع جسم معين بالنسبة إلى موضع جسم آخر من خلال تحديد موضع الإطار الاحداثي لهذا الجسم بالنسبة لإطار احداثي للجسم الآخر.

وبالمثل ، يمكن التعبير عن تغير مكان الجسم الجامدعلى أنه التغير الحاصل بين إطارين إحداثيين, يعتبر أحدهما متحرك والآخر ثابت. وهذا يشير إلى أن المراقب يقع في في الاطار الاحداثي الثابت, "ليس هناك أي إطار ثابت بشكل مطلق".



مصفوفات التحول (تغير الموضع) Transformation Matrices
1_الموضع والإنتقال Position and Displacement
إن موضع نقطة إلتقاء محاور إطار الإحداثيات i بالنسبة إلى إطار الإحداثيات j هو شعاع ذو الأبعاد 1×3 التالي:

إن عناصر هذا الشعاع هي القيم الديكارتية الاحداثية للنقطة Oi (قطة إلتقاء محاور إطار الإحداثيات i) بالنسبة للاطار j, وهي بالتالي قيم إسقاطات الشعاع p على محاور الإطار j
الانتقال هو انزياح الجسم الصلب عن مكانه بحيث لاتبقى ولانقطة من الجسم في مكانها الإبتدائي , بحيث تصبح جميع الخطوط المستقيمة الموجودة في الجسم الصلب موازية لمواضعها الابتدائية (أي ليس هناك دوران). هذه القاعدة لاتشمل فقط النقاط والخطوط الموجودة ضمن حدود الجسم الصلب, بل تتعدى إلى أي نقطة أو خط موجود في الفضاء.
وبالعكس , يمكن تمثيل موضع الجسم على أنه انتقال لإطار إحداثيات الجسم من موضع كان فيه معروفاً بالنسبة إلى إطار ثابت آخر , ليصبح مجهولا بالنسبة له.

2_التوجه والدوران Orientation and Rotation
تمثيل الدوران هو موضوع أكثر تشعباً من تمثيل الانتقال "اللهم أعني على شرحه". سأشرح هنا على التمثيلات الاكثر شيوعا في ميكانيزم الربوتات فقط.
الدوران هو تغير في موضع الجسم الصلب بحيث أن نقطة واحدة على الأقل من الجسم تبقى في مكانها الإبتدائي, ولاتصبح فيه جميع الخطوط المستقيمة الموجودة على الجسم الصلب موازية لمواقعها الابتدائية.
2_1_الدوران بالنسبة لاطار ثنائي الابعاد :
يظهر في الشكل إطارين إحداثيين, ينتج الإطار o1x1y1 عن دوان الاطار o0x0y0 بمقدار الزاوية ثيتا
علينا الان تحديد قيم احداثيات الشعاع o1x1y1 بالنسبة إلى الإطار o0x0y0




2_2_الدوران بالنسبة لاطار ثلاثي الابعاد :


على اعتبار أن الأشعة السابقة هي الأشعة الواحدية لكلا الإطارين(unit vectors) فإن الجداء السلمي لها هو تجب الزاوية المحصورة بينهما.


بعض المراجع:
http://ttuadvancedrobotics.wikidot.com/rotation-and-transformation-operators
http://users.aber.ac.uk/jnw/CS364/6.php#manipPos
http://www.cs.dartmouth.edu/~robotics/cs54/index.php/Article_4:_Rigid_Bodies